Разрешение на пребывание в стране Aufenthaltsgenehmigung вы получите в Ведомстве по делам иностранцев, так называемом Ausländerbehörde. Здесь вам нужен полученный в столе прописке документ Meldebestätigung des Einwohnermeldeamtes.
То есть, сначала вы отправляетесь в стол прописки, а уже со справкой о прописке - в Ведомство по делам иностранцев.
Адрес ведомства вам подскажут в городском управлении (Stadtverwaltung или Gemeindeverwaltung).
Разрешение на пребывание в Германии выдается сроком на один год и продлевается в Ведомстве по делам иностранцев.
Прописка в Германии или просто Anmeldung
Формуляры и анкеты на немецком языке в один из первых дней пребывания в чужой стране? Не пугайтесь, так как обычно оформление прописки (регистрации по месту жительства) происходит без проволочек. 
Ведомство по делам иностранцев
